Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，射線AM經過⊙O上的點E，弦AC平分∠MAB，過點C作CD⊥AM，垂足為D．

（1）請用尺規作圖將圖形補充完整，不寫作法，保留痕跡，并證明：CD是⊙O的切線；

（2）若AB＝8， ，求弦AE的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖及證明見解析；（2）4

【解析】（1）以C為圓心，大于C到AM的距離為半徑作弧分別與AM有兩個交點，以這兩個交點分別為圓心，以大于這兩個交點長的一半為半徑作弧，兩弧交點一點，過這一點及點D即可得到AM的垂線，連接OC，證∠OCD＝90°即可說明CD是⊙O的切線；（2）作OF⊥AM，得矩形OCDF，可求出OF的值，再通過勾股定理和垂徑定理即可求出AE的長.

解：（1）作圖正確，痕跡明顯

證明：連接OC，則OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA

∵AC平分∠MAB，∴∠OAC＝∠MAC

∴∠OCA＝∠MAC，∴AM∥OC

∵CD⊥AM，垂足為D，∴∠CDM＝90°

∴∠OCD＝∠CDM＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線

（2）作OF⊥AM，垂足為F，

則AF＝EF，四邊形OCDF是矩形

∴

在Rt△AOF中，∵

∴

∴AE＝2AF＝4