Question

【題目】在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x 軸于點H，在拋物線y=x2（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是______．

Answer 1

【答案】

【解析】試題解析：①如圖1，當∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；

∵∠AOH=60°，

∴直線OA：y=x，

聯立拋物線的解析式得： ，

解得： 或，

故A（，3）；

②當∠POQ=∠AOH=60°，此時△POQ≌△AOH，

易知∠POH=30°，則直線y=x，聯立拋物線的解析式，得： ，

解得： 或，

故P（， ），那么A（， ）；

③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH；

易知∠POH=30°，則直線y=x，聯立拋物線的解析式，得： ，

解得： 或，

故P（， ），

∴OP=，QP=，

∴OH=OP=，AH=QP=，

故A（， ）；

④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH；

此時直線y=x，聯立拋物線的解析式，得： ，

解得： 或，，

∴P（，3），

∴QP=2，OP=2，

∴OH=QP=2，AH=OP=2，

故A（2，2）．

綜上可知：符合條件的點A有四個，分別為：（，3）或（， ）或（， ）或（2，2）．