Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB=10，有一條定長為6的動弦CD在弧AB上滑動（點C、點D分別不與點A、點B重合），點E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．
（1）求證：EO=OF；
（2）聯結OC，如果△ECO中有一個內角等于45°，求線段EF的長；
（3）當動弦CD在弧AB上滑動時，設變量CE=x，四邊形CDFE面積為S，周長為l，問：S與l是否分別隨著x的變化而變化？試用所學的函數知識直接寫出它們的函數解析式及函數定義域，以說明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：過點O作OH⊥CD于H，如圖所示：

則CH=DH，

∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD，

∴EC∥OH∥FD，

∵CH=DH，

∴EO=FO；

（2）解：∵OH⊥CD，OC= AB=5，

∴CH= CD=3，

∴OH= = =4，

∵EC∥OH，

∴∠ECO=∠COH≠45°；

①當∠EOC=45°時，過點E作EM⊥OC于M，

則△OEM是等腰直角三角形，

∴EM=OM，

∵∠ECM=∠COH，∠CME=∠OHC=90°，

∴△ECM∽△COH，

∴EM：CM=CH：OH=3：4．

在Rt△ECM中，設EM=3m，CM=4m．則OM=3m，EO= OM=3 m，

∵CM+OM=OC，

∴4m+3m=5，

解得：m= ，

∴EO= ，

EF=2EO= ．

②當∠CEO=45°時，過點O作ON⊥EC于N；．

在Rt△CON中，ON=CH=3，CN=OH=4．

在Rt△EON中，EO=3 ．

∴EF=2OE=6 ．

綜上所述，線段EF的長等于 或6

（3）解：四邊形CDFE的面積S不隨變量x的變化而變化，是一個不變量；

四邊形CDFE的周長l隨變量x的變化而變化．理由如下：

由①得：EO=FO，CH=DH，

∴OH是梯形EFDC的中位線，

∴EC+FD=2OH=8，

∴四邊形CDFE面積為S= （EC+FD）CD=OHCD=4×6=24（0＜x＜8）（是一個常值函數）；

作FG⊥EC于G，則GC=FD=8﹣x，GF=CD=6，

∴EG=EC﹣GC=x﹣（8﹣x）=2x﹣8，

∴EF= = =2 ，

∴四邊形CDFE周長l=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2 +14（0＜x＜8），

即l═2 +14（0＜x＜8）．

【解析】（1）過點O作OH⊥CD于H，由垂徑定理得出CH=DH，證得EC∥OH∥FD，即可得出結論；（2）由勾股定理求出OH= ═4，由平行線的性質得出∠ECO=∠COH≠45°；分兩種情況討論：①當∠EOC=45°時，過點E作EM⊥OC于M，則△OEM是等腰直角三角形，得出EM=OM，證明△ECM∽△COH，得出EM：CM=CH：OH=3：4．設EM=3m，CM=4m．則OM=3m，EO= OM=3 m，由CM+OM=OC，得出方程4m+3m=5，解方程得出m= ，即可得出EO= ，EF=2EO= ．②當∠CEO=45°時，過點O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON=CH=3，CN=OH=4．在Rt△EON中，EO=3 ．得出EF=2OE=6 即可．（3）證明OH是梯形EFDC的中位線，由梯形中位線定理得出EC+FD=2OH=8，由梯形面積公式得出S= （EC+FD）CD=OHCD=244×6=24（0＜x＜8）；作FG⊥EC于G，則GC=FD=8﹣x，GF=CD=6，求出EG=EC﹣GC=2x﹣8，由勾股定理得出EF= =2 ，得出四邊形CDFE周長l=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2 +14（0＜x＜8）．