Question

【題目】如圖，在長方形ACDF中，AC＝DF，點B在CD上，點E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．

（1）用兩種不同的方法表示出長方形ACDF的面積S，并探求a，b，c之間的等量關系（需要化簡）

（2）請運用（1）中得到的結論，解決下列問題：

①求當c＝5，a＝3時，求S的值；

②當c﹣b＝8，a＝12時，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①28；②85．

【解析】

（1）方法一，根據矩形的面積公式就可以直接表示出S；方法二，根據矩形的面積等于四個三角形的面積之和求出結論即可，根據方法一與方法二的S相等建立等式就可以得到a，b，c之間的等量關系；

（2）①先由（1）的結論求出b的值，然后代入S＝ab+b2求解即可；②由a2＝c2b2＝（c＋b）（cb）先求得c＋b的值，然后可求得b的值，然后代入S＝ab+b2求解即可．

解：（1）由題意，得

方法一：S1＝b（a+b）＝ab+b2；

方法二：S2＝ab+ab+（b﹣a）（b+a）+c2＝ab+b2﹣a2+c2；

∵S1＝S2，

∴ab+b2＝ab+b2﹣a2+c2，

∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，

∴a2+b2＝c2；

（2）∵a2+b2＝c2．且c＝5，a＝3，

∴b＝4，

∴S＝ab+b2＝3×4+16＝28．

②∵a2+b2＝c2，

∴a2＝c2﹣b2＝（c+b）（c﹣b）．

又∵c﹣b＝8，a＝12，

∴c+b＝18，

∴b＝5，

∴S＝ab+b2＝12×5+52＝85．