Question

7．如圖，線段AB=10，動點P從點A出發，以每秒1個單位的速度，沿線段AB向終點B運動，同時，另一個動點Q從點B出發，以每秒3個單位的速度在線段AB上來回運動（從點B向點A運動，到達點A后，立即原速返回，再次到達B點后立即調頭向點A運動．） 當點P到達B點時，P，Q兩點都停止運動．設點P的運動時間為x．
（1）當x=3時，線段PQ的長為2．
（2）當P，Q兩點第一次重合時，求線段BQ的長．
（3）是否存在某一時刻，使點Q恰好落在線段AP的中點上？若存在，請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）結合圖形，表示出AP、AQ的長，可得PQ；
（2）當P，Q兩點第一次重合時，點P運動路程+點Q運動路程=AB的長，列方程可求得；
（3）點Q落在線段AP的中點上有以下三種情況：①點Q從點B出發未到點A；②點Q到達點A后，從A到B；
③點Q第一次返回到B后，從B到A，根據AP=2AQ列方程可得．

解答 解：（1）根據題意，當x=3時，P、Q位置如下圖所示：

此時：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB-BQ=10-9=1，
∴PQ=AP-AQ=2；
（2）設x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x=10 
解得：x=2.5，
∴BQ=3x=7.5；
（3）設x秒后，點Q恰好落在線段AP的中點上，根據題意，
①當點Q從點B出發未到點A時，即0＜x＜$\frac{10}{3}$時，有 
x=2（10-3x），
解得 $x=\frac{20}{7}$；   
②當點Q到達點A后，從A到B時，即$\frac{10}{3}$＜x＜$\frac{20}{3}$時，有
x=2（3x-10），
解得 x=4；  
③當點Q第一次返回到B后，從B到A時，即$\frac{20}{3}$＜x＜10時，有
x=2（30-3x），
解得 $x=\frac{60}{7}$；
綜上所述：當x=$\frac{20}{7}$或x=4或x=$\frac{60}{7}$時，點Q恰好落在線段AP的中點上．
故答案為：（1）2．

點評 本題考查了數軸、一元一次方程的應用，解答（3）題，對x分類討論是解題關鍵，屬中檔題．