Question

（2012•靜海縣二模）已知二次函數y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過三點（1，0），（-3，0），（0，-

3

2

）．
（Ⅰ）求二次函數的解析式；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函數，當x取a，b（a≠b）時函數值相等，求x取a+b時的函數值；
（Ⅲ）若反比例函數y₂=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象與（Ⅰ）中的二次函數的圖象在第一象限內的交點為A，點A的橫坐標為x₀滿足2＜x₀＜3，試求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用待定系數法求函數的解析式即可．
（Ⅱ）首先將x=a、b代入拋物線的解析式中，聯立所得的兩個方程即可求出a+b的值；再將x=a+b代入（Ⅰ）的拋物線解析式中即可求出此時的函數值．
（Ⅲ）首先大致畫出y₁、y₂的函數圖象，大致判斷出2＜x₀＜3中，兩函數的增減性；然后根據x₀=2或3時，兩函數值的大小關系列出不等式組，由此求得k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設拋物線解析式為y=a（x-1）（x+3）
將（0，-

3

2

）代入，解得a=

1

2

．
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²+x-

3

2

．

（Ⅱ）當x=a時，y₁=

1

2

a²+a-

3

2

，當x=b時，y₁=

1

2

b²+b-

3

2

，
∴

1

2

a²+a-

3

2

=

1

2

b²+b-

3

2

，
∴a²-b²+2（a-b）=0，即（a-b）（a+b+2）=0，
∵a≠b，∴a+b=-2．
∴y₁=

1

2

（a+b）²+（a+b）-

3

2

=

1

2

（-2）²-2-

3

2

=-

3

2

即x取a+b時的函數值為-

3

2

．

（Ⅲ）當2＜x＜3時，函數y₁=

1

2

x²+x-

3

2

，y₁隨著x增大而增大，對y₂=

k

x

（k＞0），y₂隨著X的增大而減小．
∵A（x₀，y₀）為二次函數圖象與反比例函數圖象的交點，
∴當x₀=2時，由反比例函數圖象在二次函數上方得y₂＞y₁，
即

k

2

＞

1

2

×2²+2-

3

2

，解得k＞5．
當x₀=3時，二次函數數圖象在反比例上方得y₁＞y₂，
即

1

2

×3²+3-

3

2

＞

k

3

，解得k＜18．
所以k的取值范圍為5＜k＜18．

點評：該題主要考查的是函數解析式的確定以及不等式的應用．最后一題中，通過圖示找出與題相關的不等式是突破題目的關鍵，因此在平常的解題過程中，要注意數形結合思想的合理運用．