Question

（2012•靜海縣二模）在平面直角坐標系中，兩個全等的直角三角板OAB和DCE重疊在一起，∠AOB=60°，B（2，0）．固定△OAB不動，將△DCE進行如下操作：
（Ⅰ） 如圖①，△DCE沿x軸向右平移（D點在線段AB內移動），連接AC、AD、CB，四邊形ADBC的形狀在不斷的變化，它的面積變化嗎？若不變，求出其面積；若變化，請說明理由．
（Ⅱ）如圖②，當點D為OB的中點時，請你猜想四邊形ADBC的形狀，并說明理由．
（Ⅲ）如圖③，在（Ⅱ）中，將點D固定，然后繞D點按順時針將△DCE旋轉30°，在x軸上求一點P，使|AP-CP|最大．請直接寫出P點的坐標和最大值，不要求說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過A點作AF⊥OB于F，作出梯形的高，求得高線長，根據平行的性質可以得到AC=OD，則利用梯形的面積公式即可求解；
（Ⅱ）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證得；
（Ⅲ）當P是直線AC與x軸的交點時，|AP-CP|最大．利用待定系數法求得AC的解析式，則P的坐標可以求得．

解答：解：（Ⅰ）四邊形ADBC的面積不變．
在Rt△AOB中，∵∠AOB=60°，
∴∠ABO=30°．
又B（2，0），∴OB=2，
∴OA=

1

2

OB=1，
過A點作AF⊥OB于F，
在Rt△AOF中，∵sin60°=

AF

OA

，
∴AF=

3

2

，
由平移性質可知，AC∥OD，AC=OD
∴S=

1

2

(AC+DB)•AF=

1

2

(OD+DB)•AF=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；

（Ⅱ）菱形，
在Rt△AOB中，∵點D為斜邊OB的中點，∴OD=AD=DB．
∵AC∥DB，AC=OD=DB，
∴四邊形ADBC是平行四邊形，
∵AD=DB，∴四邊形ADBC是菱形；


（Ⅲ）作AM⊥x軸于點M，CN⊥x軸于N．
則AM=OA•sin60°=

3

2

，OM=OA•cos60°=

1

2

，則A的坐標是：（

1

2

，

3

2

），
在直角△DCN中，CN=

1

2

CD=

1

2

，DN=CD•cos60°=

3

2

，則ON=1+

3

2

=

3 +2

2

，MN=

3 +2

2

-

1

2

=

3 +1

2

．
C的坐標是：（

3 +2

2

，

1

2

），
設直線AC的解析式是y=kx+b，則

1 2 k+b= 3 2 3 +2 2 k+b= 1 2

，
解得：

k= 3 +1 1- 3 b= 3 +1

．
則直線的解析式是：y=

3 +1

1- 3

x+(

3

+1)，
令y=0，解得：x=2+

3

，
故P的坐標是（2+

3

，0）．
作CE⊥AM于點E．則EC=MN=

3 +1

2

，AE=

3

2

-

1

2

=

3 -1

2

，
在直角△ACE中，AC=

EC2+AE2

=

2

．
故|AP-CP|的最大值為

2

．

點評：本題考查了梯形的面積的計算、平行的性質以及待定系數法求函數解析式，理解P的位置是關鍵．