Question

【題目】如圖，已知E、F分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M，則下列結論：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③MD=2AM=4EM；④AM=MF．其中正確結論的個數是（　 ）

A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據正方形的性質可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根據中點定義求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，從而求出∠AMD=90°，再根據鄰補角的定義可得∠AME=90°，從而判斷①正確；根據中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯誤；根據直角三角形的性質判斷出△AED、△MAD、△MEA三個三角形相似，利用相似三角形對應邊成比例可得，然后求出MD=2AM=4EM，判斷出③正確，設正方形ABCD的邊長為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據相似三角形對應邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=

MF，判斷出④正確.

解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分別為邊AB，BC的中點，

在△ABF和△DAE中，

∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正確；
∵DE是△ABD的中線，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②錯誤；

∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，

∴

∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故③正確；

設正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a，
在Rt△ABF中，

∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，

即

，故④正確