Question

【題目】實踐與操作：我們在學習四邊形的相關知識時，認識了平行四邊形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四邊形，下面我們用尺規作圖的方法來體會它們之間的聯系．如圖，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，請完成下列任務：

（1）在圖1中作一個菱形，使得點A、B為所作菱形的2個頂點，另外2個頂點在□ABCD的邊上；在圖2中作一個菱形，使點B、D為所作菱形的2個頂點，另外2個頂點在□ABCD的邊上；（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）請在圖形下方橫線處直接寫出你按（1）中要求作出的菱形的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）圖1：8；圖2：．

【解析】

（1）根據菱形四條邊相等的性質進行畫圖；根據菱形的對角線互相垂直平分的性質畫圖；

（2）根據面積公式，先求出各自的底和高即可．圖1，作AH⊥BC,垂足為H，利用菱形性質和勾股定理求出BH和AH即可；圖2，作BH⊥AD,垂足為H，由四邊形BEDF為菱形，可設BE=ED=BF=x，根據三角函數關系可得AH,BH，根據勾股定理可得（8-x）2+（）2=x2，可求出BF．

（1）如圖所示：菱形ABEF和菱形BEDF為所求．

（2）圖1：

作AH⊥BC,垂足為H

因為四邊形ABEF是菱形

所以BE=AB=4

因為∠ABC＝60°

所以∠HAB＝30°

所以BH=

所以AH=

所以四邊形ABEF的面積是：

圖2：

作BH⊥AD,垂足為H

因為四邊形BEDF為菱形

所以可設BE=ED=BF=x，

因為平行四邊形ABCD中∠ABC＝60°，

所以∠HAB=∠ABC＝60°

所以BH=ABsin60°，AH= ABcos60°

所以HE=HD-ED=2+6-x=8-x

所以在Rt△HBE 中，由HB2+HE2=BE2可得

（8-x）2+（）2=x2

解得x=

所以BF=

所以菱形BEDF的面積是：