Question

【題目】如圖，拋物線經過原點O（0，0），點A（1，1），點B（，0）．

（1）求拋物線解析式；

（2）連接OA，過點A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；

（3）點M是y軸右側拋物線上一動點，連接OM，過點M作MN⊥OM交x軸于點N．問：是否存在點M，使以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）（，﹣54）或（，）或（，﹣）

【解析】

（1）設交點式y=ax（x-），然后把A點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；

（2）延長CA交y軸于D，如圖1，易得OA=，∠DOA=45°，則可判斷△AOD為等腰直角三角形，所以OD=OA=2，則D（0，2），利用待定系數法求出直線AD的解析式為y=-x+2，再解方程組，得C（5，-3），然后利用三角形面積公式，利用S△AOC=S△COD-S△AOD進行計算；

（3）如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=4，OA=，設M（x，-x2+x）（x＞0），根據三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，則當時，△OHM∽△OAC，即；當時，△OHM∽△CAO，即，則分別解關于x的絕對值方程可得到對應M點的坐標，由于△OMH∽△ONM，所以求得的M點能以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似．

（1）設拋物線解析式為y=ax（x-），

把A（1，1）代入得a1（1-）=1，解得a=-，

∴拋物線解析式為y=-x（x-），

即y=-x2+x；

（2）延長CA交y軸于D，如圖1，

∵A（1，1），

∴OA=，∠DOA=45°，

∴△AOD為等腰直角三角形，

∵OA⊥AC，

∴OD=OA=2，

∴D（0，2），

易得直線AD的解析式為y=-x+2，

解方程組得或，則C（5，-3），

∴S△AOC=S△COD-S△AOD=×2×5-×2×1=4；

（3）存在．如圖2，

作MH⊥x軸于H，AC=，OA=，

設M（x，-x2+x）（x＞0），

∵∠OHM=∠OAC，

∴當時，△OHM∽△OAC，即，

解方程-x2+x =4x得x1=0（舍去），x2=-（舍去），

解方程-x2+x =-4x得x1=0（舍去），x2=，此時M點坐標為（，-54）；

當時，△OHM∽△CAO，即，

解方程-x2+x=x得x1=0（舍去），x2=，此時M點的坐標為（，），

解方程-x2+x=-x得x1=0（舍去），x2=，此時M點坐標為（，-）；

∵MN⊥OM，

∴∠OMN=90°，

∴∠MON=∠HOM，

∴△OMH∽△ONM，

∴當M點的坐標為（，-54）或（，）或（，-）時，以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似．