Question

【題目】△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經過點C，BD⊥l，AE⊥l，，垂足分別為D、E．

（1）當A、B在直線l同側時，如圖1，

①證明：△AEC≌△CDB；

②若AE=3,BD=4,計算△ACB的面積.(提示：間接求)

(2)當A. B在直線l兩側時，如圖2，若AE=3，BD=4，連接AD，BE直接寫出梯形ADBE的面積___.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②12.5；（2）3.5

【解析】

（1）①根據垂直定義求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根據AAS推出△AEC≌△CDB；

②根據全等三角形的性質推出CE=BD和AE=CD即可，再利用勾股定理得出AC和BC的長計算即可；

（2）根據垂直定義求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根據AAS推出△AEC≌△CDB，根據全等三角形的性質推出CE=BD和AE=CD即可，利用梯形面積解答即可．

(1)①∵直線l過點C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

，

∴△AEC≌△CDB(AAS)；

②∵△AEC≌△CDB，

∴CE=BD，AE=CD，∠ACE=∠DBC，

∵ED=CE+CD,∠DBC+∠BCD=90°，

∴ED=AE+BD,∠ACE+∠BCD=90°，

在Rt△ACB中,AC=BC==5，

∴△ACB的面積=×5×5=12.5；

(2)∵直線l過點C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

，

∴△AEC≌△CDB(AAS)，

∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CECD，

∴ED=BDAE=43=1，

梯形ADBE的面積=×(3+4)×1=3.5.

故答案為：3.5.