Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上的一點，CF切半圓O于點C，BD⊥CF于為點D，BD與半圓O交于點E．

(1)求證：BC平分∠ABD．

(2)若DC=8，BE=4，求圓的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；

【解析】

（1）連接OC，根據CD為切線可得OC⊥CD，再根據平行線的性質即可得出結論；

（2）連接AE交OC于G，根據圓與平行線的性質易得四邊形CDEG為矩形，再根據勾股定理即可得出結論.

（1）證明：連結OC，如圖，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∵BD⊥DF，

∴OC∥BD，

∴∠1=∠3，

∵OB=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BC平分∠ABD；

（2）解：連結AE交OC于G，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∵OC∥BD，

∴OC⊥CD，

∴AG=EG，

易得四邊形CDEG為矩形，

∴GE=CD=8，

∴AE=2EG=16，

在Rt△ABE中，AB==4，

即圓的直徑為4．