Question

如圖，矩形OABC中，O為直角坐標系的原點，A、C兩點的坐標分別為（3，0）、（0，5）．
（1）直接寫出B點坐標；
（2）若過點C的直線CD交AB邊于點D，且把矩形OABC的周長分為1：3兩部分，求直線CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，試問在坐標軸上是否存在點E，使以C、D、E為頂點的三角形與以B、C、D為頂點的三角形相似？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：求函數的解析式，可以根據直線CD把矩形OABC的周長分為1：3兩部分，就可以求出D點的坐標，利用待定系數法就可以求出解析式．根據三角形相似，對應邊的比相等，可以求出點的坐標．

解答：解：（1）B點的坐標是（3，5）；

（2）設直線與AB的交點是D．
設AD=x，則[3+（5-x）]：（8+x）=1：3，解得x=4，
因而D的坐標是（3，4）．
設CD的解析式是y=kx+b，根據題意得到

b=5 3k+b=4

，解得

b=5 k=- 1 3

，
則函數的解析式是y=-

1

3

x+5．

（3）①當點E在y軸上，且△BCD∽△DEC時，
∠CDE=∠B=90°，
則

BD

DC

=

CD

EC

，即

1

10

=

10

CE

，
解得CE=10．因而OE=5，則E的坐標是（0，-5）．
②當點E在y軸上，且△BCD∽△EDC時，∠CED=∠B=90°，
則

BD

EC

=

CD

DC

=1，
∴BD=EC=1，
∴E的坐標是（0，4）．
③當E在x軸上時，C、D到x軸的距離都大與CD的長，則CD不可能是斜邊，
當C是直角頂點時，過C且垂直于CD的直線的解析式是：y=3x+5，與x軸的交點坐標是：E（-

5

3

，0），則EC=

10 3

3

，
∴

EC

BC

=

CD

BD

，則△ECD∽△CBD；
當D是直角頂點時，過D且垂直于CD的直線的解析式是：y=3x-5，與x軸的交點坐標是E（

5

3

，0），
則ED=

20

3

，△ECD和△CBD不相似．
∴點E的坐標為（0，-5）或（0，4）或（-

5

3

，0）．

點評：本題主要考查了利用待定系數法求函數的解析式．