Question

如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y=-

4

9

x²+bx+c經過A、C兩點，與AB邊交于點D．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S．
①求S關于m的函數表達式，并求出m為何值時，S取得最大值；
②當S最大時，在拋物線y=-

4

9

x²+bx+c的對稱軸l上若存在點F，使△FDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-

4

9

x²+bx+c，即可求得拋物線的解析式；
（2）①先用m 表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數，化簡為頂點式，便可求出S的最大值；
②直接寫出滿足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫．

解答：解：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-

4

9

x²+bx+c，

c=8 - 4 9 ×36+6b+c=0

，
解得

b= 4 3 c=8

，
∴拋物線的解析式為y=-

4

9

x²+

4

3

x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6
∴AC=

OA2+OC2

=10，
過點Q作QE⊥BC于E點，則sin∠ACB=

QE

QC

=

AB

AC

=

3

5

，
∴

QE

10-m

=

3

5

，
∴QE=

3

5

（10-m），
∴S=

1

2

•CP•QE=

1

2

m×

3

5

（10-m）=-

3

10

m²+3m=-

3

10

（m-5）²+

15

2

，
∴當m=5時，S取最大值；
②在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，
∵拋物線的解析式為y=-

4

9

x²+

4

3

x+8的對稱軸為x=

3

2

，
D的坐標為（3，8），Q（3，4），
當∠FDQ=90°時，F₁（

3

2

，8），
當∠FQD=90°時，則F₂（

3

2

，4），
當∠DFQ=90°時，設F（

3

2

，n），
則FD²+FQ²=DQ²，
即

9

4

+（8-n）²+

9

4

+（n-4）²=16，
解得：n=6±

7

2

，
∴F₃（

3

2

，6+

7

2

），F₄（

3

2

，6-

7

2

），
滿足條件的點F共有四個，坐標分別為
F₁（

3

2

，8），F₂（

3

2

，4），F₃（

3

2

，6+

7

2

），F₄（

3

2

，6-

7

2

）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法拋物線的最值等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．