Question

如圖所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，對角線BD⊥AC，交點為E，且BD=3cm，AC=4cm．
（1）求ABCD面積；
（2）求△BEC面積．

Answer 1

分析：（1）首先過點D作DF∥AC交BC的延長線于F點．易證得四邊形ACFD為平行四邊形．由BD⊥AC，即可得BD⊥DF，又由在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，即可求得BC邊上的高，繼而求得四邊形ABCD面積；
（2）由AD∥BC，即可證得△ADE∽△CBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得BE與CE的長，繼而求得△BEC面積．

解答：解：（1）過點D作DF∥AC，交BC的延長線于F點．
∵AD∥BC，
∴四邊形ACFD為平行四邊形．
∴DF=AC=4cm，AC∥DF，CF=AD=1cm，
∴BF=BC+CF=4+1=5（cm），
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DF，
在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，
∴BC邊上的高h為：

3×4

5

=

12

5

（cm），
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

（AD+BC）h=

1

2

×（1+4）×

12

5

=6（cm²）；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴

DE

BE

=

AE

EC

=

AD

BC

=

1

4

，
∴

DE

3-DE

=

1

4

，

AE

4-AE

=

1

4

，
∴DE=

3

5

cm，AE=

4

5

cm，
∴BE=3-DE=3-

3

5

=

12

5

（cm），EC=4-AE=

16

5

（cm），
S_△BEC=

1

2

BE•EC=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

（cm²）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、梯形的性質、平行四邊形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．