Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D為AB中點，設點P在線段BC上以3cm/秒的速度由B點向C點運動，點Q在線段CA上由C點向A點運動.

（1）若Q點運動的速度與P點相同，且點P，Q同時出發，經過1秒鐘后△BPD與△CQP是否全等，并說明理由；
（2）若點P，Q同時出發，但運動的速度不相同，當Q點的運動速度為多少時，能在運動過程中有△BPD與△CQP全等？
（3）若點Q以（2）中的速度從點C出發，點P以原來的速度從點B同時出發，都是逆時針沿△ABC的三邊上運動，經過多少時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵t=1秒，

∴BP=CQ=3×1=3cm，

∵AB=10cm，點D為AB的中點，

∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，

∴PC=8﹣3=5cm，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）

解：∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，

∴點P，點Q運動的時間 秒，

∴vQ= cm/秒；

（3）

設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，

由題意，得 x=3x+2×10，

解得x= ．

∴點P共運動了 ×3=80cm．

∴80=56+24=2×28+24，

∴點P、點Q在AB邊上相遇，

∴經過 秒點P與點Q第一次在邊AB上相遇．

【解析】（1）由P，Q的速度相等，t=1秒時，CQ=BP=3cm，易得BD=CP=5，由AB=AC，則∠B=∠C，可證得△BPD≌△CQP；（2）△BPD與△CQP全等時，B與C對應，而vP≠vQ ， 則BP≠CQ，則P不與Q對應，則P與P對應，即△BPD≌△CPQ，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，所以求出時間，再求Q的速度即可；（3）可設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，點Q的速度大于點P，則是Q追P的問題，點Q與點P相距AC+AB=20cm，數量關系：點Q的路程=點P的路程+20，解出時間，則求出P點的路程，算出P繞△ABC運動幾周余多少米，可算出點P在哪個位置.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．