Question

如圖，在直角坐標系中，以x軸上一點P（1，0）為圓心的圓與x軸、y軸分別交于A、B、C、D四點，點C的坐標為（0，

3

）．
（1）直接寫出A、B、D三點坐標；
（2）若拋物線y=x²+bx+c過A、D兩點，求這條拋物線的解析式，并判斷點B是否在所求的拋物線上，說明理由．

Answer 1

（1）連接AC、BC，則∠ACB=90°；
∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CD，
∴OC=OD；
易知OC=

3

，則OD=OC=

3

，即D（0，-

3

）；
Rt△ABC中，OC⊥AB，由射影定理，得：
OA•OB=OC²=3，
設⊙O的半徑為R，則OA=R-1，OB=R+1，代入上式，得：
（R+1）（R-1）=3，解得R=2；
∴OA=1，OB=3，即A（-1，0），B（3，0）；
所以A、B、D的坐標分別為：A（-1，0），B（3，0），D（0，-

3

）．

（2）將A（-1，0），D（0，-

3

）代入y=x²+bx+c中，得：

c=- 3 1-b+c=0

，解得

b=1- 3 c=- 3

；
∴y=x²+（1-

3

）x-

3

；
當x=3時，x²+（1-

3

）x-

3

=9+（1-

3

）×3-

3

=12-4

3

≠0；
∴點B（3，0）不在拋物線y=x²+（1-

3

）x-

3

上．