Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、（點在點右側），點為拋物線的頂點.點在軸的正半軸上，交軸于點，繞點順時針旋轉得到，點恰好旋轉到點，連接.

（1）求點、、的坐標；

（2）求證：四邊形是平行四邊形；

（3）如圖2，過頂點作軸于點，點是拋物線上一動點，過點作軸，點為垂足，使得與相似（不含全等）.

①求出一個滿足以上條件的點的橫坐標；

②直接回答這樣的點共有幾個？

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）①點P的橫坐標為，，，②點P共有3個.

【解析】

(1)令y=0，可得關于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B兩點的坐標，對解析式配方可得頂點D的坐標；

(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如圖2，易得，由此可得，繼而證明為等邊三角形，推導可得，再由，，可得，問題得證；

(3)①設點的坐標為，分三種情況：點在點左側，點在點右側，點在之間，分別討論即可得；

②由①的結果即可得.

(1)令，

解得或，

故，，

配方得，故；

(2)∵，CO⊥AF，

∴OF=OA=1，

如圖，DD1⊥軸，∴DD1//CO，

∴，

∴，

即，

∴，

∴CF==2，

∴，

即為等邊三角形，

∴∠AFC=∠ACF=60°，

∵∠ECF=∠ACF，

∴，

∴，

∵CF：DF=OF：FD1=1：2，

∴DF=4，∴CD=6，

又∵，，

∴，

∴四邊形是平行四邊形；

(3)①設點的坐標為，

(ⅰ)當點在點左側時，

因為與相似，

則1)，

即，

∴(舍)，x2=-11；

2)，

即，

∴(舍)，；

(ⅱ)當點在點右側時，

因為與相似，

則3)，

即，

∴(舍)，(舍)；

4)，

即，

∴(舍)，(舍)；

(ⅲ)當點在之間時，

∵與相似，

則5)，

即，

∴(舍)，(舍)；

6)，

即，

∴(舍)，；

綜上所述，點的橫坐標為，，；

②由①可得這樣的點P共有3個.