Question

【題目】如圖，BD為⊙O的直徑，點A是劣弧BC的中點，AD交BC于點E，連結AB.

(1)求證：AB2=AE·AD；

(2)若AE=2，ED=4，求圖中陰影的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 2π-3.

【解析】

（1）點A是劣弧BC的中點，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可證得△ABE∽△ADB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得AB2=AEAD.

(2) 連結OA，由S陰影=S扇形AOB-S△AOB求出即可.

(1)證明：∵點A是劣弧BC的中點，

∴=

∴∠ABC=∠ADB．

又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABE∽△ADB．

∴ ．

∴AB2=AEAD．

(2)解：連結OA

∵AE=2，ED=4，

由(1)可知

∴AB2=AEAD，

∴AB2=AEAD=AE(AE+ED)=2×6=12．

∴AB=(舍負)．

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°．

在Rt△ABD中，BD=

∴OB=．

∴OA=OB=AB=

∴△AOB為等邊三角形

∴∠AOB=60°．

S陰影=S扇形AOB-S△AOB=