Question

【題目】已知⊙O為△ABC的外接圓，圓心O在A(yíng)B上．

（1）在圖1中，用尺規(guī)作圖作∠BAC的平分線(xiàn)AD交⊙O于D（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法與證明）；

（2）如圖2，設(shè)∠BAC的平分線(xiàn)AD交BC于E，⊙O半徑為5，AC=4，連接OD交BC于F．

①求證：OD⊥BC；

②求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)試題解析；（2）①證明見(jiàn)試題解析；②．

【解析】

試題分析：（1）按照作角平分線(xiàn)的方法作出即可；

（2）①由AD是∠BAC的平分線(xiàn)，得到，再由垂徑定理推論可得到結(jié)論；

②由勾股定理求得CF的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理求得，即可求得，繼而求得EF的長(zhǎng)．

試題解析：（1）尺規(guī)作圖如圖1所示：

（2）①如圖2，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∴， ∵OD過(guò)圓心，∴OD⊥CB；

②∵AB為直徑，∴∠C=90°，∵OD⊥CB，∴∠OFB=90°，∴AC∥OD，∴，，即，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT△OFB中，BF===，∵OD⊥BC，∴CF=BF=，∵AC∥OD，∴△EFD∽△ECA，∴，∴，∴EF=CF==．