Question

【題目】如圖，點A，B的坐標分別為（0，8），（﹣3，0），點P從點A出發，以2單位/秒的速度沿射線AO方向運動，同時點E從點B出發，以1單位/秒的速度沿射線BO方向運動，以PE為斜邊構造Rt△PEC（字母按逆時針順序），且EC=2PC，拋物線y=﹣2x2+bx+c經過點（0，4），（﹣1，﹣2），設運動時間為t秒．

（1）求該拋物線的表達式；
（2）當t=2時，求點C的坐標；
（3）①當t＜3時，求點C的坐標（用含t的代數式表示）；
②在運動過程中，若點C恰好落在該拋物線上，請直接寫出所有滿足條件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣2x2+bx+c經過點（0，4），（﹣1，﹣2），

∴

∴ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣2x2+4x+4．

（2）

解：如圖1中，t=2時，EO=1，OP=4，設C（x，y），作CH⊥x軸于H，PQ⊥HC于Q．

∵∠PCQ+∠CPQ=90°，∠ECH+∠PCQ=90°，

∴∠CPQ=∠ECH，∵∠Q=∠CHE=90°，

∴△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴點C坐標（ ， ）

（3）

解：①如圖1中，設C（x，y），則PO=8﹣2t，EH=3﹣t+x，CH=y，QC=8﹣2t﹣y，PQ=x，

∵△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴點C坐標（ ， ）．

②當t＜3時，如果點C在拋物線上，則有 =﹣2（ ）2+4 +4，

解得t=1或6（舍棄），

∴t=1時，點C在拋物線上．

當3≤t＜4時，由圖象可知，不存在這樣的點C在拋物線上，

當t＞4時，如圖2中，作CH⊥x軸于H，PQ⊥HC于Q．

設C（x，y），則PO=2t﹣8，EH=t﹣3﹣x，CH=﹣y，QC=2t﹣8+y，PQ=﹣x，

∵△PCQ∽△CEH，

∴

∵EC=2PC，

∴ = = ，

∴x= ，y= ，

∴點C坐標（ ， ），

如果點C在拋物線上，則有 =﹣2（ ）2+4 +4，

解得t=6或1（舍棄），

∴t=6時，點C在拋物線上，

綜上所述t=1或6s時，點C 拋物線上

【解析】（1）把（0，4），（﹣1，﹣2）代入拋物線解析式y=﹣2x2+bx+c，列方程組即可解決問題．（2）如圖1中，t=2時，EO=1，OP=4，設C（x，y），作CH⊥x軸于H，PQ⊥HC于Q，由△PCQ∽△CEH，得 = = ，列出方程組，解方程組即可解決問題．（3）①如圖1中，設C（x，y），則PO=8﹣2t，EH=3﹣t+x，CH=y，QC=8﹣2t﹣y，PQ=x，由△PCQ∽△CEH，得 = = ，由EC=2PC，可得 = = ，用t表示x、y即可解決問題．②分三種情形①t＜3時，列出方程即可解決問題．②3≤t＜4時，顯然不存在這樣的點C在拋物線上．③t＞4時，如圖2中，作CH⊥x軸于H，PQ⊥HC于Q．設C（x，y），則PO=2t﹣8，EH=t﹣3﹣x，CH=﹣y，QC=2t﹣8+y，PQ=﹣x，由△PCQ∽△CEH，得到 = = ，解方程組即可得到點C坐標，代入拋物線即可解決問題．