Question

【題目】綜合與實踐:(1)如圖，已知：在等腰直角中，，，直線經過點，直線，直線，垂足分別為點、.小明觀察圖形特征后猜想線段、和之間存在的數量關系，請你判斷他的猜想是否正確，并說明理由.

（2）如圖，將(1)中的條件改為：為等邊三角形，、、三點都在直線上，并且有，請問結論是否成立？并說明理由.

(3)如圖，若將(1)中的三角形變形為一般的等腰三角形，中，，，其中為任意銳角或鈍角，、、三點都在直線上.問：滿足什么條件時，結論仍成立？直接寫出條件即可.

Answer 1

【答案】（1）小明的猜想是正確的，理由見解析；（2）仍成立，理由見解析；（3）當時，結論成立

【解析】

（1）根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，進而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．

（3）如圖3中，結論：當∠ADB=∠BAC=∠AEC時，DE=BD+EC．證明方法類似（2）．

解：(1)小明的猜想是正確的.

理由：如圖1，

直線，直線，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

；

(2)結論仍成立；

理由：如圖2，

為等邊三角形

、

，

在和中，

，

，，

.

(3)當時，結論DE=BD+EC仍成立.

理由：∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE．