Question

如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．

（1）求A、B、C三點的坐標．

（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．

（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似．若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令，得   解得

令，得

∴ A   B   C 

（2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，        ∴PAB=

      過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形

令OE=，則PE=  ∴P

∵點P在拋物線上 ∴  

解得，（不合題意，舍去）
      ∴PE=

∴四邊形ACBP的面積=AB•OC+AB•PE

=

(3)． 假設存在

∵PAB=BAC =   ∴PAAC

∵MG軸于點G，   ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=  

設M點的橫坐標為，則M

①點M在軸左側時，則

(ⅰ) 當AMG PCA時，有=

∵AG=，MG=

即 

解得（舍去） （舍去）

(ⅱ) 當MAG PCA時有=

即

解得：（舍去） 

∴M

② 點M在軸右側時，則

(ⅰ) 當AMG PCA時有=

∵AG=，MG=     

∴   

解得（舍去）   

      ∴M