Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O.

(1)如圖1，連接AF、CE，求證:四邊形AFCE為菱形；

(2)如圖2，若AB=4cm，AF=5cm，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運動過程中：

①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值；

②若點P、Q的運動路程分別為(單位:cm，)，已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求與滿足的數量關系式。

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)①;②a+b=12(ab≠0).

【解析】

(1)證明△AOE≌△COF，由全等推出OE=OF，得出平行四邊形AFCE，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形即可得結論；

(2)①分情況討論可知，P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；

②由題意得，以A、C、P、O四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上，分三種情況，畫出圖形討論即可得.

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE∥FC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，FE⊥AC，

在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF，

∴EO=FO，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵FE⊥AC，

∴平行四邊形AFCE為菱形；

(2)①顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不能構成平行四邊形，

因此只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A、C、P、O四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA,

∵點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒，

∴PC=5t,QA=12-4t, ∴5t=12-4t,解得：t=,

∴以A、C、P、O四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=；

②由題意得，以A、C、P、O四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上，

分三種情況：

(i)如圖1，當P點在AF上，Q點在CE上時，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；

(ii) 如圖2，當P點在BF上，Q點在DE上時，AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；

(iii) 如圖3，當P點在AB上，Q點在CD上時，AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12；

綜上所述，a與b滿足的數量關系式是a+b=12(ab≠0).