Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸正半軸交于點C，拋物線的頂點為P，對稱軸為直線，且OC＝3OA．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D（2，m）在拋物線上，點E在直線AP上，使DE⊥OE，求點E的橫坐標；

（3）如圖2，連接BC與拋物線的對稱軸交于點F，在拋物線上是否存在點G，使△GPF與△GBF的面積相等，若存在，求出點G坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：.

（2）E點的橫坐標為

（3）理由見詳解.

【解析】

（1）利用拋物線的對稱軸方程求出b，利用OC＝3OA確定c的值，從而得到拋物線解析式.

（2）先求出D點坐標為（2，3），則AP上一點E，作EM⊥OB，DN⊥EM，則△EMO∽△DNE，得，設E（x，y），列出方程即可解決問題．
（3）設G（m，-m2+2m+3），根據，列出方程即可解決問題，當G′在x軸下方時，方法類似．

解（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴ ，解得b=2

∴拋物線的解析式為：

設A點坐標為：（a，0），（a<0），C點坐標為：（0，c）, （c>0）則有：

解之得：（取負數）

又∵OC＝3OA

∴

∴

解之得：

∴拋物線的解析式為：

（2）

將D（2，m）代入拋物線的解析式為：得：

∴D點坐標為（2，3）

如圖1，點E在直線AP上，DE⊥OE，作EM⊥OB，DN⊥EM，
則△EMO∽△DNE，
∴ ，
設E（x，y），
則 ，
∴
又∵，
解得：，

∴E點的橫坐標為

；
（3）

由得F(1,2),B(3,0),P(1,4)

存在點G，使△GPF與△GBF的面積相等.

如圖2所示，設G（m，-m2+2m+3），
∵，
∴ ，
解得或，

當時，

∴

當時，

∴點G坐標（，2），或（，2）
當G′在x軸下方時，且在對稱軸的右側時，有

，
解得或（舍棄），

∴
∴點G坐標（，），

當G′在x軸下方時，且在對稱軸的左側時，有

解得： ,則，不符合題意舍去.
∴使△GPF與△GBF的面積相等點G的坐標為，（，2），（，2）（，）．