Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，當圖形W上的點P的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點P為圖形W的“夢之點”.

（1）已知⊙O的半徑為1.

①在點E（1,1），F（,－）,M(－2，－2)中，⊙O的“夢之點”為 ；

②若點P位于⊙O內部，且為雙曲線（k≠0）的“夢之點”，求k的取值范圍.

（2）已知點C的坐標為（1，t），⊙C的半徑為，若在⊙C上存在“夢之點”P，直接寫出t的取值范圍.

（3）若二次函數的圖象上存在兩個“夢之點”，,且，求二次函數圖象的頂點坐標.

Answer 1

【答案】（1）①F; ②（2）－1≤t≤3 ；（3）坐標為（），（）

【解析】試題分析：①根據 “夢之點”的概念直接判斷即可.

②先求出⊙O的“夢之點”坐標為 和.將代入雙曲線表達式中，得，即可求出k的取值范圍.

⊙C 要和直線y=x的交點均為雙曲線的“夢之點”， 在⊙C上存在“夢之點”P，即它們的必須有交點.

由“夢之點”定義可得: ，.則.

整理得，，解得，， . 把兩個根代入中，求出的值，分別計算即可.

試題解析：（1）①F;

②∵⊙O的半徑為1.

∴⊙O的“夢之點”坐標為 和.

又∵雙曲線（k≠0）與直線y=x的交點均為圓的“夢之點”，

∴將代入雙曲線表達式中，得，

∵點P位于⊙O內部.

∴,

（2）－1≤t≤3，

（3）由“夢之點”定義可得: ，.

則.

整理得，,

解得，， .

把兩個根代入中，即,

解得，，.

當時，，其頂點坐標為

當時，，其頂點坐標為