Question

如圖，某中學(xué)校園有一塊長(zhǎng)為35m，寬為16m的長(zhǎng)方形空地，其中有一面已經(jīng)鋪設(shè)長(zhǎng)為26m的籬笆圍墻，學(xué)校設(shè)計(jì)在這片空地上，利用這面圍墻和用盡已有的可制作50m長(zhǎng)的籬笆材料，圍成一個(gè)矩形花園或圍成一個(gè)半圓花園，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：

（1）能否圍成面積為300m²的矩形花園？若能，請(qǐng)寫(xiě)出其中一種設(shè)計(jì)方案，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若圍成一個(gè)半圓花園，則該如何設(shè)計(jì)？請(qǐng)寫(xiě)出你的設(shè)計(jì)方案．（π取3.14）
（3）圍成的各種設(shè)計(jì)中，最大面積是多少？

Answer 1

(1)能，設(shè)計(jì)方案見(jiàn)解析；（2）設(shè)計(jì)方案見(jiàn)解析；（3）343.43m².

試題分析：（1）首先表示出矩形的長(zhǎng)與寬，利用矩形面積得出等式，進(jìn)而解方程得出；
（2）利用已知得出設(shè)新增加am，則半圓弧長(zhǎng)為：，進(jìn)而得出a的值，即可得出答案；
（3）利用二次函數(shù)最值求法得出矩形最值再利用半圓面積公式得出半圓面積，進(jìn)而比較即可．
試題解析：（1）設(shè)垂直于已經(jīng)鋪設(shè)長(zhǎng)為26m的籬笆圍墻的一邊為xm，則平行于原籬笆的長(zhǎng)為（50-2x）m，
根據(jù)題意得出：x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15，
當(dāng)x=10，則50-20=30＞26，故不合題意舍去，
∴能圍成面積為300m²的矩形花園，此時(shí)長(zhǎng)為20m，寬為15m；
（2）∵當(dāng)r=13時(shí)，∴l(xiāng)_半圓=πr=3.14×13=40.82＜50，
∴半圓的直徑應(yīng)大于26m，設(shè)新增加am，則半圓弧長(zhǎng)為：，
∴a+=50，
解得：a≈3.57，
∴半圓直徑為：26+3.57=29.57（m），
∴半圓的半徑為：14.79m；
（3）S₁=x（50-2x）=-2x²+50x，
當(dāng)x=12.5時(shí)，S_最大==312.5（m²），
S_半圓=π×14.79²≈343.43（m²），
∴圍成的各種設(shè)計(jì)中，最大面積是半圓面積為343.43m²．
考點(diǎn): 1.二次函數(shù)的應(yīng)用；2.一元二次方程的應(yīng)用．