Question

【題目】在等邊△ABC中，

（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數；

（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與點B，C重合），點P在點Q的左側，且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM.

①依題意將圖2補全；②小明通過觀察、實驗，提出猜想：在點P，Q運動的過程中，始終有PA=PM，小明把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：要證PA=PM，只需證△APM是等邊三角形．

想法2：在BA上取一點N，使得BN=BP，要證PA=PM，只需證△ANP≌△PCM.……

請你參考上面的想法，幫助小明證明PA=PM（一種方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）見解析

【解析】

對于（1）根據等腰三角形的性質得到∠APQ=∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC，根據三角形外角的性質即可得到結論；

對于（2）①根據題意和軸對稱的性質即可畫出圖形；

②如圖2根據等腰三角形的性質得到∠APQ=∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC，由點Q關于直線AC的對稱點為M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代換得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到結論.

（1）∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；

（2）①補全的圖如圖所示.

②∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ.

∵點Q關于直線AC的對稱點為M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°.

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△APM是等邊三角形，

∴PA=PM.