Question

已知，關于x的二次函數，（k為正整數）.

（1）若二次函數的圖象與x軸有兩個交點，求k的值.
（2）若關于x的一元二次方程（k為正整數）有兩個不相等的整數解，點A（m，y₁），B（m+1，y₂），C（m+2，y₃）都在二次函數（k為正整數）圖象上，求使y₁≤y₂≤y₃成立的m的取值范圍.
（3）將（2）中的拋物線平移，當頂點至原點時，直線y=2x+b交拋物線于A(-1，n)、B(2，t)兩點，問在y軸上是否存在一點C，使得△ABC的內心在y軸上.若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）1、2; (2) m≥;（3）（0，-4）.

解析試題分析：（1）由二次函數的圖象與x軸有兩個交點，知一元二次方程有兩不相等的實數根，從而根的判別式大于0,解不等式求出正整數解即可;
(2)由關于x的一元二次方程（k為正整數）有兩個不相等的整數解得到k=1,從而得到函數解析式為,進而根據y₁≤y₂≤y₃列不等式組求解即可;
（3）根據軸對稱性質求解即可.
試題解析：（1）∵二次函數的圖象與x軸有兩個交點 ，
∴△=16-8（k-1)＞0，∴16-8k+8＞0，解得k<3.
∵k為正整數，∴k=1、2.
(2) ∵關于x的一元二次方程（k為正整數）有兩個不相等的整數解,
∴k="1." ∴.
∴y₁=2m²="4m," y₂=2(m+1)²+4(m+1),y₃=2(m+2)²+4(m+2)
∴,解得m≥.
(3) 存在.
因為內心在軸上，所以∠ACO=∠BCO,找A點關于y軸的對稱點A ′(1，2),直線A ′B：y=6x-4，與y軸的交點即為所求C點，坐標為（0，-4）.
考點：1.二次函數的圖象與x軸交點問題;2. 一元二次方程根的判別式;3. 二次函數與不等式組;4.軸對稱的應用.