Question

在兩千多年前我國古算術上記載有“勾三股四弦五”，你知道它的意思嗎？
它的意思是說：如果一個直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4個長度單位，那么它的斜邊的長一定是5個長度單位，而且3、4、5這三個數有這樣的關系：3²+4²=5²．
（1）請你動動腦筋，能否驗證這個事實呢？該如何考慮呢？
（2）請你觀察下列圖形，直角三角形ABC的兩條直角邊的長分別為AC=7，BC=4，請你研究這個直角三角形的斜邊AB的長的平方是否等于4²+7²？

Answer 1

解：（1）邊長的平方即以此邊長為邊的正方形的面積，故可通過面積驗證．分別以這個直角三角形的三邊為邊向外作正方形，如圖：AC=4，BC=3，

S_{正方形ABED}=S_{正方形FCGH}-4S_Rt△ABC
=（3+4）²-4××3×4
=7²-24
=25，
即AB²=25，
又∵AC=4，BC=3，
AC²+BC²=4²+3²=25
∴AB²=AC²+BC²．

（2）如圖（圖見題干中圖）
S_{正方形ABED}=S_{正方形KLCJ}-4S_Rt△ABC=（4+7）²-4××4×7=121-56=65=4²+7²．
分析：（1）邊長的平方即以此邊長為邊的正方形的面積，故可通過面積驗證．分別以這個直角三角形的三邊為邊向外做正方形，求出三個正方形的面積，即可證明；
（2）關鍵是計算S_{正方形ABED}=S_{正方形KLCJ}-4S_Rt△ABC再加以驗證即可．
點評：此題主要是根據正方形的面積公式證明勾股定理，需掌握．