Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

（1）正方形的邊長(zhǎng)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；

（2）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)，，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，，求點(diǎn)的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；

（3）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向以2個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)它們相遇時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求出的值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）8，(,)；（2）；（3）t＝8或

【解析】

（1）由正方形性質(zhì)可得AO＝AC＝OB＝BC，AB⊥OC，OE＝EC，AE＝BE，由勾股定理可求AO，AE的長(zhǎng)，即可求解；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA＝OA＝4，∠OAB＝∠A＝90°，可求AC的長(zhǎng)，由S重疊部分＝S△OBCS△APC可求重疊部分的面積；
（3）利用分類討論思想和等腰三角形的性質(zhì)可求t的值．

解：（1）如圖，連接AB，交OC于點(diǎn)E，

∵四邊形AOBC是正方形
∴AO＝AC＝OB＝BC，AB⊥OC，OE＝EC，AE＝BE，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是
∴OC＝
∴OE＝EC＝
∵OA2＋AC2＝OC2＝128，
∴OA＝8
∴

∴正方形邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)A坐標(biāo)為(,)；

故答案為：8，(,)

（2）如圖，

∵將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，∠AOC＝45°
∴點(diǎn)A落在OC上，
∴OA＝OA＝8，∠OAB＝∠A＝90°
∴點(diǎn)A（8，0），AC＝OCOA＝-8

∵∠ACB＝45°，
∴∠APC＝∠ACP＝45°
∴AC＝AP＝-8

∴S重疊部分＝S△OBCS△APC＝-=

（3）∵t＝8時(shí)，點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)Q與C重合，且△OAC是等腰三角形
∴當(dāng)t＝8時(shí)，△OPQ為等腰三角形
當(dāng)點(diǎn)P在OA上，點(diǎn)Q在OB上時(shí)，OP＝t，OQ＝2t，則直角三角形OPQ不是等腰三角形；
當(dāng)點(diǎn)P在OA上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，
∵△OPQ是等腰三角形
∴點(diǎn)Q在OP的垂直平分線上，

∴

∴
當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，點(diǎn)Q在AC上時(shí)，OP≠OQ≠PQ
∴△OPQ不是等腰三角形．
∴當(dāng)t＝8或時(shí)，△OPQ為等腰三角形．