Question

6．如圖，長方體的長、寬、高分別為5、4、3，在下底面A處有一螞蟻，它想吃到與它相對的上底面B處的食物，沿長方體側面爬行的最短路程是（　　）

• A． $\sqrt{74}$
• B． 5$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 先將長方體前面和右面的兩個面展開，就成為了一個矩形，再連接AB，利用勾股定理就可以求出線段AB的值，就是螞蟻爬行的最短距離．

解答 解：展開長方體的側面（如圖），連接AB

在圖（1）中由勾股定理，得
AB=$\sqrt{{5}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{74}$，
在圖（2）中由勾股定理，得AB=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{90}$=3$\sqrt{10}$，
在圖（3）中由勾股定理，得
AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$
∵$\sqrt{74}$＜4$\sqrt{5}$＜3$\sqrt{10}$，
∴螞蟻爬行的最短距離$\sqrt{74}$．
關系A．

點評 本題考查了長方體的展開圖的運用，兩點之間最短問題的運用，勾股定理的運用及實數大小的比較．在解時要將實際問題轉化為數學問題使抽象的變得直觀是解答本題的關鍵．