Question

（2013•金平區模擬）如圖，拋物線y=ax2+

1

3

x+c（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A（-3，0）、B（4，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點M在線段AB上以每秒2個單位長度的速度從點A向點B運動，同時，點N在線段AC上以每秒1個單位長度的速度從點C向點A運動．設運動時間為t（0＜t＜3.5），試求出四邊形BCNM的面積S與t的函數關系式．當t為何值時，S的值最小，最小值是多少？
（3）點P在拋物線對稱軸上，點Q在拋物線上，在（2）的條件下，當四邊形BCNM的面積S最小時，是否存在這樣的點P與點Q，使以P，Q，B，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（-3，0）、B（4，0）兩點代入拋物線y=ax2+

1

3

x+c（a≠0），即可聯立兩式求出a，c的值，從而求出該拋物線的解析式；
（2）依題意，得AM=2t，CN=t，根據勾股定理可求AC，表示出AN，作ND⊥OA于點D，根據相似三角形的性質可表示出DN，根據三角形的面積即可得到四邊形BCNM的面積S與t的函數關系式，配方后可求S的最小值；    
（3）利用平行四邊形的性質結合圖形得出若以BN為對角線以及以BN為一邊時，分別得出P點坐標即可．

解答：解：（1）拋物線y=ax2+

1

3

x+c經過A（-3，0）、B（4，0）兩點，則

0=9a-1+c 0=16a+ 4 3 +c

，
解得

a=- 1 3 c=4

．
故拋物線的解析式為y=-

1

3

x2+

1

3

x+4；       
                  
（2）依題意，得AM=2t，CN=t，
∵OC=4，OA=3，∠AOC=90°，
∴AC=

OC2+OA2

=

42+32

=5，
∴AN=AC-CN=5-t，
作ND⊥OA于點D，
∵OC⊥OA，
∴ND∥OC，
∴

DN

OC

=

AN

AC

，
∴DN=

AN•OC

AC

=

4

5

(5-t)，
∴S=S_△ABC-S_△AMN
=

1

2

AB•OC-

1

2

AM•DN
=

1

2

×7×4-

1

2

×2t×

4

5

(5-t)
=

4

5

t2-4t+14，
∴S=

4

5

(t-

5

2

)2+9，
∴當t=

5

2

時，S的最小值是9；    
                          
（3）如圖，存在，
若以BN為對角線，N點坐標為（-

3

2

，2），則Q點的橫坐標為4-（

1

2

+

3

2

）=2，當x=2時，y=-

1

3

×2²+

1

3

×2+4=3

1

3

，則點P的縱坐標為2-3

1

3

=-

4

3

，故點P的坐標為（

1

2

，-

4

3

）；
若以BN為一邊，則Q點的橫坐標為

1

2

-（4+

3

2

）=-5，當x=-5時，y=-

1

3

×（-5）²+

1

3

×（-5）+4=-6，則點P的縱坐標為-6+2=-4，故點P的坐標為（

1

2

，-4）；
若以BN為一邊，則Q點的橫坐標為

1

2

+（4+

3

2

）=6，當x=6時，y=-

1

3

×6²+

1

3

×6+4=-6，則點P的縱坐標為-6-2=-8，故點P的坐標為（

1

2

，-8）．
故點P的坐標為（

1

2

，-

4

3

）、（

1

2

，-4）、（

1

2

，-8）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平行四邊形的性質與判定和三角形面積求法等知識，根據已知結合圖形以及利用分類討論思想得出是解題關鍵．