Question

【題目】如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，其中點B的坐標為（1，0），若拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數k的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】﹣1＜k＜

【解析】分析：根據∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．

詳解：由圖可知，∠AOB=45°，

∴直線OA的解析式為y=x，

聯立，

消掉y得：x2-x+k=0，

△=b2-4ac=（-1）2-4×1×k=0，

即k=時，拋物線與OA有一個交點，

∵點B的坐標為（1，0），

∴OA=1，

∴點A的坐標為（，），

∴交點在線段AO上；

當拋物線經過點B（1，0）時，1+k=0，

解得k=-1，

∴要使拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數k的取值范圍是-1＜k＜，

故答案為：-1＜k＜．