Question

【題目】如圖，在中，，，于點，是的中點，連結交于點.

（1）與全等嗎？請說明理由.

（2）若，求的長.

Answer 1

【答案】（1）全等，理由見解析；（2）

【解析】

（1）根據垂線的定義可證∠BDC=∠ADC=90°，證明∠DCB=∠DBC =45°，根據等角對等邊證明BD=DC，根據等腰三角形三線合一證明BE⊥AC，然后根據同角的余角相等可證∠ACD=∠ABE，利用AAS可證與全等；

（2）由全等三角形的性質可得AD=DF=1，設BD=DC=x，則BC=AB= x +1，在Rt△BDC中根據勾股定理求得x的值即可.

解：（1）△ACD與△FBD全等．理由如下：
∵CD⊥AB于點D，
∴∠BDC=∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，
△BDC中，∵∠BDC=90°，∠DBC=45°，
∴∠DCB=∠DBC =45°，
∴BD=CD．

∵，是的中點

∴BE⊥AC

∴∠A+∠ABE=90°，

∴∠ACD=∠ABE,

在△ACD與△FBD中，

∵

∴△ACD≌△FBD(ASA);

（2）∵△ACD≌△FBD，，

∴AD=DF=1,

設BD=DC= x，則BC=AB= x +1，

在Rt△BDC中根據勾股定理

即

解得（負值已經舍去），

所以.