Question

【題目】如圖，數學老師布置了這樣一道作業題：

在△ABC中，AB＝AC≠BC，點D和點A在直線BC的同側．BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α+β＝120°，連接AD，求∠ADB的度數．

小聰提供了研究：先從特殊問題開始研究：當α＝90°，β＝30°時，利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構造△ABD的軸對稱圖形△ABD′，連接CD′，然后利用α＝90°，β＝30°以及等邊三角形的相關知識可解決這個問題．

（1）請結合小聰研究，畫出當α＝90°，β＝30°時相應的圖形；

（2）請結合小聰研究，求出當α＝90°，β＝30°時∠ADB的圖形；

（3）請結合小聰研究，請解決數學老師布置的這道作業題.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ADB＝30°；（3）∠ADB＝150°

【解析】

（1）根據題意作出圖形即可；

（2）作輔助線構建全等三角形，證明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等邊三角形，再證明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B＝∠BD′C＝30°，則∠ADB＝∠AD′B＝30°；

（3）分兩種情況進行討論：第一種情況：當60°＜α≤120°時，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度數，從而得∠ABD′和∠D′BC的度數，得到△BD′C是等邊三角形，根據（1）同理得出∠ADB＝∠AD′B＝30°；第二種情況：當0°＜α＜60°時，仍然按此過程求出∠ADB＝∠AD′B＝150°．

（1）如圖1，

（2）如圖2，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，連接CD′，AD′，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∵∠DBC＝30°，

∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，

∵AB＝AB，∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，

∴△ABD≌△ABD′（SAS），

∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，

∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，

∵BD＝BD′，BD＝BC，

∴BD′＝BC，

∴△D′BC是等邊三角形，

∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，

∵AB＝AC，AD'＝AD'，

∴△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B＝∠AD′C，

∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，

∴∠ADB＝30°，

（3）解：第一種情況：當60°＜α≤120°時，

如圖2，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，連接CD′，AD′，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠BAC＝α，

∴∠ABC＝＝90°﹣，

∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣﹣β，

同（1）可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B

∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣＝180°﹣（α+β），

∵α+β＝120°，

∴∠D′BC＝60°，

以下同（1）可求得∠ADB＝30°，

第二種情況：當0°＜α＜60°時，

如圖3，

作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，連接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝，

∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝，

同（1）可證△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD＝∠ABD′═，

，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，

∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣，

∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．

同（1）可證△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B＝∠AD′C，

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，

∴∠ADB＝∠AD′B＝150°．