Question

【題目】如圖，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同側作正△ABD、正△APE和△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

先延長EP交BC于點F，得出PF⊥BC，再判定四邊形CDEP為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得出：四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，最后根據a2+b2=8，判斷ab的最大值即可．

如圖，延長EP交BC于點F，

∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，

∴∠EPC=150°，

∴∠CPF=180°-150°=30°，

∴PF平分∠BPC，

又∵PB=PC，

∴PF⊥BC，

設Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則CF=CP=b，a2+b2=8，

∵△APE和△ABD都是等邊三角形，

∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，

∴∠EAD=∠PAB，

∴△EAD≌△PAB（SAS），

∴ED=PB=CP，

同理可得：△APB≌△DCB（SAS），

∴EP=AP=CD，

∴四邊形CDEP是平行四邊形，

∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，

又∵（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，

∴2ab≤a2+b2=8，

∴ab≤2，

即四邊形PCDE面積的最大值為2．

故答案為：2．