Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE⊥AB交BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，F在DA的延長(zhǎng)線上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：如圖，連接BE．利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BF=BD；然后根據(jù)圓周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直徑．利用銳角三角函數(shù)的定義可以來(lái)求BE的長(zhǎng)度．

試題解析：

如圖，連接BE．

∵AF=AD，AB⊥EF，

∴BF=BD．是直徑

∵AB=AC，

∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．

∵tan∠ABD=，

∴tanE=tan∠FBA=．

在Rt△ABF中，∠BAF=90°．

∵tan∠FBA== ，AF=3，

∴AB=4．

∵∠BAE=90°，

∴BE是⊙O的直徑．

∵tanE=tan∠FBA= ，AB=4，

∴設(shè)AB=3x，AE=4x，

∴BE=5x，

∵3x=4，

∴BE=5x=，

即⊙O的直徑是．