Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉后得到矩形A'BC'D'，點A的對應點A'在對角線AC上，點C、D分別與點C'、D'對應，A′D'與邊BC交于點E，那么BE的長是_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如下圖，過點B作BF⊥AC，過點E作EH⊥AC，由勾股定理可求AC＝5，由面積法可求BF＝，由勾股定理可求AF＝，由旋轉的性質可得AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，可求AA'＝，由等腰三角形的性質可求HC的長，通過證明△EHC∽△ABC，可得，可求EC的長，即可求解．

如下圖，過點B作BF⊥AC，過點E作EH⊥AC，

∵AB＝3，AD＝4，∠ABC＝90°，

∴AC＝＝5，

∵S△ABC＝AB×BC＝AC×BF，

∴3×4＝5BF，

∴BF＝

∴AF＝，

∵將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉后得到矩形A'BC'D'，

∴AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，且BF⊥AC，

∴∠BAC＝∠BA'A，AF＝A'F＝，∠BA'A+∠EA'C＝90°，

∴A'C＝AC﹣AA'＝，

∵∠BA'A+∠EA'C＝90°，∠BAA'+∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠EA'C，

∴A'E＝EC，且EH⊥AC，

∴A'H＝HC＝A'C＝，

∵∠ACB＝∠ECH，∠ABC＝∠EHC＝90°，

∴△EHC∽△ABC，

∴

∴

∴EC＝，

∴BE＝BC﹣EC＝4﹣＝，

故答案為：．