Question

【題目】在平面直角坐標系中，四邊形 OABC 的頂點 A、C 分別在 x 軸和 y 軸上，頂點B 在第一象限，OA//CB．

（1）如圖 1，若點 A(6，0)，B(4，3)，點 M 是 y 軸上一點，且 SBCM SAOM ，求點 M的坐標；

（2）如圖 2，點 P 是 x 軸上點 A 左邊的一點，連接 PB，∠PBC 和∠PAB 的角平分線交于點D，求證：∠ABP+2∠ADB=180°；

（3）如圖 3，點 P 是 x 軸上點 A 左邊的一點，點 Q 是射線 BC 上一點，連接 PB、PQ，∠ABP和∠BQP 的平分線相交于點 E，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，）或（0，）；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）首先根據(jù)題意可判斷點M一定在點C的下方，接下來分類兩種情況討論：當0＜m＜3及m＜0時，根據(jù)SBCM SAOM及三角形的面積公式列出方程計算即可

（2）過點D作DH∥BC，根據(jù)平行線的性質可證得∠ADB＝∠DAO＋∠DBC，再根據(jù)角平分線可得∠PBC＋∠PAB＝2∠ADB，最后再根據(jù)兩直線平行同旁內角互補即可得證；

（3）先設∠ABF＝∠EBG＝x，∠GQP＝∠EQB＝y，根據(jù)三角形的內角和及平行線的性質可分別證得∠BEQ－∠BAP＝x－y，∠BPQ－∠BEQ＝x－y，等量代換即可求得答案．

（1）解：設點M的坐標為（0，m），

∵點 A(6，0)，B(4，3)，

∴AO＝6，BC＝4，

∵SBCM SAOM，

∴點M一定在點C的下方，

當0＜m＜3時，

則，

解得，

∴點M的坐標為（0，），

當m＜0時，

則，

解得，

∴點M的坐標為（0，），

綜上所述，點M的坐標為（0，）或（0，）；

（2）證明：如圖，過點D作DH∥BC，

∵DH∥BC，OA∥BC，

∴DH∥OA，

∴∠HAD＝∠DAO，

∵DH∥BC，

∴∠HAB＝∠DBC，

∴∠ADB＝∠HAD＋∠HAB

＝∠DAO＋∠DBC，

∵DB、DA分別平分∠PBC、∠PAB，

∴∠PBC＝2∠DBC，∠PAB＝2∠DAO，

∴∠PBC＋∠PAB＝2(∠DBC＋∠DAO)

＝2∠ADB，

∵OA∥BC，

∴∠PAB＋∠ABC＝∠PAB＋∠PBC＋∠ABP＝180，

即2∠ADB＋∠ABP＝180°；

（3）解：如圖，

∵∠ABP和∠BQP的平分線相交于點E，

∴設∠ABF＝∠EBG＝x，∠GQP＝∠EQB＝y，

∵OA∥BC，

∴∠AFB＝∠EBQ，

∴180°－(∠ABF＋∠BAP)＝ 180°－(∠BEQ＋∠EQB)

∴∠ABF＋∠BAP＝∠BEQ＋∠EQB，

即：x＋∠BAP＝∠BEQ＋y，

∴x－y＝∠BEQ－∠BAP，

∵∠EBG ＋∠BEQ＋∠BGE＝∠GQP＋∠BPQ＋∠PGQ＝180°，∠BGE＝∠PGQ，

∴∠EBG ＋∠BEQ ＝∠GQP＋∠BPQ，

即：x＋∠BEQ＝y＋∠BPQ，

∴x－y＝∠BPQ－∠BEQ，

∴∠BPQ－∠BEQ＝∠BEQ－∠BAP，

即∠BPQ＋∠BAP＝2∠BEQ，

∴，

∴的值為2．