Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；
（3）設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得： ，
解之得：
∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3
∵對稱軸為x=-1，且拋物線經過A（1，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，
得 ，
解之得： ，
∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3
（2）解：設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．
把x=-1代入直線y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2），
即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（-1，2）
（3）解：如圖：

設P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2 ，
PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，
①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2
即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；
②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2
即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2
即：4+t2+t2-6t+10=18解之得：t1= ，t2= ；
綜上所述P的坐標為（-1，-2）或（-1，4）或（-1， ） 或（-1， ）．
【解析】先把點A，C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關系式，再根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；
設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標；
設P（-1，t），又因為B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2 ， PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標．