Question

【題目】已知拋物線的頂點為（1，0），且經過點（0，1）．

（1）求該拋物線對應的函數的解析式；

（2）將該拋物線向下平移m(m>0)個單位，設得到的拋物線的頂點為A，與x軸的兩個交點為B、C，若△ABC為等邊三角形．

①求m的值；

②設點A關于x軸的對稱點為點D，在拋物線上是否存在點P，使四邊形CBDP為菱形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）; （2）①m=3;②不存在這樣的點P,理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據拋物線的頂點坐標及函數經過點（0，1），利用待定系數法求解即可．

（2）①先寫出平移后的函數解析式，然后得出A、B、C三點的坐標，過點A作AH⊥BC于H，根據△ABC為等邊三角形，可得出關于m的方程，解出即可；

②求出點D坐標，分兩種情況進行討論，①PD為對角線，②PD為邊，根據菱形的性質求解即可．

試題解析：

（1）由題意可得， 解得

∴拋物線對應的函數的解析式為．

（2）①將向下平移m個單位得： -m= ，可知A(1，-m)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．

由△ABC為等邊三角形，得，由m＞0，解得m=3．

②不存在這樣的點P．

∵點D與點A關于x軸對稱，∴D（1，3）．

由①得BC=2．

要使四邊形CBDP為菱形，需DP∥BC，DP=BC．

由題意，知點P的橫坐標為1+2，

當x=1+2時，

-m==，

故不存在這樣的點P．