Question

【題目】如圖1，△ABC～△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，點D在線段BC上運動，

（1）如圖1，求證：△ABD∽△ACE

（2）如圖2，當AD⊥BC時，判斷四邊形ADCE的形狀，并證明．

（3）當點D從點B運動到點C時，設P為線段DE的中點，在點D的運動過程中，求CP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ADCE是矩形，見解析；（3）4

【解析】

（1）先判斷出∠BAD＝∠CAE，再判斷出，即可得出結論；

（2）先判斷出∠ADB＝90°，根據相似判斷出∠AEC＝90°，即可得出結論；

（3）先判斷出CP最小時，AD最小，再根據直角三角形的面積的計算方法求出AD的最小值，即可得出結論．

解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵△ABC～△ADE，

∴，

∴△ABD∽△ACE；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

由（1）知△ABD∽△ACE，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∵∠DAE＝90°，

∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，

∴四邊形ADCE是矩形；

（3）如圖1，

連接CP，

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，根據勾股定理得，BC＝10，

∵△ABC∽△ADE，

∴，

∴DE＝＝AD＝AD，

由（1）知，△ABD∽△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABD+∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝90°，

∴CP＝DE，

∵DE＝AD，

∴CP＝×AD＝AD，

要CP最小，則AD最小，

即：當AD⊥BC時，AD最小，

∵S△ABC＝ABAC＝BCAD最小，

∴AD最小＝，

即：CP最小＝AD最小＝×＝4，

即CP的最小值為4．