Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，．點是線段上的動點，點、分別是線段、上的點，且，聯結、．

（1）求證：；

（2）當時，如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；

（3）當時，求的正切值．（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先利用兩邊對應成比例，夾角相等，判斷出，得出∠DQE=∠BDC，即可得出結論；
（2）先用△DEQ∽△BCD，得出比例式表示出EQ，再分兩種情況，建立方程求解，即可得出結論；
（3）先判得出△PHQ∽△BGD，得出，進而表示出，，即可得出結論．

解：（1）∵，∴．

∵，，∴．

∴．

∴，∴．

（2）設的長為，則，．

∵，∴，∴．

（ⅰ）當時，

∴，

∵，∴，∴，

∴，∴，∴，

解得，或（舍去）．

（ⅱ）當時，

∴，解得，

∵，∴此種情況不存在．

∴．

（3）過點作，交的延長線于點；過點作，垂足為點．

∵，，∴，，

∵，∴．

∵，∴．

又∵，

∴．

∴，∴．

∴，．

∴，

∴．