Question

已知二次函數y=a(x-m)²-2a(x-m)（a,m為常數，且a≠0）.
（1）求證：不論a與m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）設該函數的圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，當△ABC是等腰直角三角形時，求a的值．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

試題分析：(1)二次函數和x軸有兩個交點，判別式>0即可；
（2）先求出頂點坐標，由△ABC是等腰直角三角形，可以得出AB邊上高等于1，即可得出a的值.
試題解析：
（1）證明：y=a(x-m)²-2a(x-m)=ax²-(2am+2a)x+am²+2am
當a≠0時,=（2am+2a）²-4a(am²+2am)
∵
∴
∴不論a與m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點．
（2）y=a(x-m)²-2a(x-m)=a(x-m-1)²-a
∴C(m+1,-a)
當y=0時，
解得x₁=m，x₂=m+2.
∴AB=（m+2）-m=2.
當△ABC是等腰直角三角形時，可求出AB邊上高等于1．
∴．
∴．