Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=，點E是AD的三等分點，且AEDE，過點E作EF∥AB交BC于F，并作射線DC和AB，點P、Q分別是射線DC和射線AB上動點，點P以每秒1個單位的速度向右平移，且始終滿足∠PQA=60°，設P點運動的時間為．

（1）當點Q與點B重合時，求DP的長度；
（2）設AB的中點為N，PQ與線段BE相交于點M，是否存在點P，使△為等腰三角形？若存在，請直接寫出時間的值；若不存在，請說明理由．
（3）設△與四邊形的重疊部分的面積為S，試求S與的函數關系式和相應的自變量的取值范圍．

Answer 1

（1）3 （2），  ，  （3）

試題分析：（１）如圖１，過點Ｐ作ＰＨ垂直于AB；

∵∠PQA=60°，AD=3；
∴PH=3．
∴．
∴DP=DC﹣CP=6﹣3=3．
（2）存在存在點P，使△為等腰三角形
，  ， ；
（3）設△與四邊形的重疊部分的面積為S
，Q與B點重合，P點在CD邊的中點處，此時△是等邊三角形，則它與四邊形的重疊部分的面積S=；當時△與四邊形的重疊部分的面積S=；當，△與四邊形的重疊部分的面積S=；當，△與四邊形的重疊部分的面積S=，綜上所述△與四邊形的重疊部分的面積

點評：本題考查三角函數、等腰三角形，函數關系式，要求學生掌握三角函數的定義，等腰三角形的性質，會求函數的解析式，本題考查多個知識點，難度較大