Question

【題目】如圖①，拋物線與軸交于，兩點（點位于點的左側），與軸交于點．已知的面積是．

（1）求的值；

（2）在內是否存在一點，使得點到點、點和點的距離相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，是拋物線上一點，為射線上一點，且、兩點均在第三象限內，、是位于直線同側的不同兩點，若點到軸的距離為，的面積為，且，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）-3；（2）存在點，使得點到點、點和點的距離相等；（3）坐標為

【解析】

（1）令，求出x的值即可求出A、B的坐標，令x=0，求出y的值即可求出點C的坐標，從而求出AB和OC，然后根據三角形的面積公式列出方程即可求出的值；

（2）由題意，點即為外接圓圓心，即點為三邊中垂線的交點，利用A、C兩點的坐標即可求出、的中點坐標，然后根據等腰三角形的性質即可得出線段的垂直平分線過原點，從而求出線段的垂直平分線解析式，然后求出AB中垂線的解析式，即可求出點的坐標；

（3）作軸交軸于，易證，從而求出，利用待定系數法和一次函數的性質分別求出直線AC、BP的解析式，和二次函數的解析式聯立，即可求出點P的坐標，然后利用SAS證出，從而得出，設，利用平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式即可求出m，從而求出點Q的坐標．

解：（1）

令，即

解得，

由圖象知：

，

∴AB=1

令x=0，解得y=

∴點C的坐標為

∴OC=

解得：，（舍去）

（2）存在，

由題意，點即為外接圓圓心，即點為三邊中垂線的交點

，，

，、的中點坐標為

線段的垂直平分線過原點，

設線段的垂直平分線解析式為：，

將點的坐標代入，得

解得：

∴線段的垂直平分線解析式為：

由，，

線段的垂直平分線為

將代入，

解得：

存在點，使得點到點、點和點的距離相等

（3）作軸交軸于，則

∴

、到的距離相等，

設直線，

將，代入，得

解得

即直線，

∴設直線解析式為：

直線經過點

所以：直線的解析式為

聯立，

解得：

點坐標為

又，

，

設AP與QB交于點G

∴GA=GQ，GP=GB

，

在與中

，

，

設

由得：

解得：，（當時，，故應舍去）

坐標為．