Question

如圖，點E在正方形ABCD外，連接AE、BE、DE，過點A作AE的垂線交DE于點F．若AE＝AF＝1，BF＝．則下列結論：①△AFD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S_△AFD＋S_△AFB＝1＋；⑤S_{正方形ABCD} ＝4＋．其中正確結論的序號是 （    ）

A．①③④

B．①②⑤

C．③④⑤

D．①③⑤

Answer 1

A．

試題分析：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；
∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°﹣45°=135°，
∴∠BEP=135°﹣45°=90°，
∴EB⊥ED，故③正確；
∵AE=AP=1，
∴PE=AE=，
在Rt△PBE中，BE=，
∴S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE，
=×1×1+××2，
=0.5+，故④正確；
過點B作BF⊥AE交AE的延長線于F，
∵∠BEF=180°﹣135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=×2=，
即點B到直線AE的距離為，故②錯誤，
綜上所述，正確的結論有①③④．
故選A．