Question

情境·觀察：
將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△,如圖1所示，將△的頂點與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D，A（），B在同一條直線上，如圖2所示，觀察圖2可知：旋轉角=       ° ，與BC相等的線段是         。

問題·探究：
如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論。

關系·拓展：
如圖4，已知正方形ABCD，P為邊BC上任意一點，連結AP，把AP繞點P順時針方向旋轉90°，點A對應點為點，連接,求的度數。

Answer 1

（1）  90°，AD；（2）EP=FQ，證明見解析；（3）45°.

試題分析：（1）根據矩形的性質、旋轉的性質填空；
（2）由全等三角形△APE≌△BGA的對應邊相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的對應邊相等知FQ=AG，所以易證EP=FQ；
（3）由旋轉的性質易求∠A₁CE=45°.
試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴如圖1，在Rt△ADC與Rt△ABC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），
即如圖2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′，
∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′．
又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°，
∴∠DA′C′+∠CAB=90°，
∴∠CAC′=90°．
問題·探究：
解：EP=FQ
∵∠AGB=∠EPA=∠EAB=90°
∴∠EAP+∠PEA=90°
∠EAP+∠BAG=90°
∴∠BAG=∠PEA
∵∠EPA=∠AGB
∠PEA=∠BAG
AE=AB
∴△EPA≌△AGB
∴EP=AG
同理：QF=AG
∴EP=FQ
聯系·拓展：
解：∠A₁CE=45°
過A₁作A₁Q⊥BE于點Q

由上可知：△ABP≌△A₁QP
∴BP=A₁Q，AB=PQ
∵AB=BC
∴BC=PQ
∴BP=CQ
∴A₁Q=CQ
∴∠A₁CE =45°
考點: 相似形綜合題.