Question

（1）如圖①，P為△ABC的邊AB上一點（P不與點A、點B重合），連接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就稱P為△ABC的邊AB上的相似點．
畫法初探
①如圖②，在△ABC中，∠ACB＞90°，畫出△ABC的邊AB上的相似點P（畫圖工具不限，保留畫圖痕跡或有必要的說明）；

辯證思考
②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似點的三角形；
特例分析
③已知P為△ABC的邊AB上的相似點，連接PC，若△ACP∽△ABC，則△ABC的形狀是   ；
④如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是邊AB上的相似點，求的值．
（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的點（P不與點A、點B重合），作PQ⊥CD，垂足為Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就稱PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線．

①類比（1）中的“畫法初探”，可以提出問題：對于如圖④的矩形ABCD，在不限制畫圖工具的前提下，如何畫出它的邊AB、CD上的相似線PQ呢？
你的解答是：   （只需描述PQ的畫法，不需在圖上畫出PQ）．
②請繼續類比（1）中的“辯證思考”、“特例分析”兩個欄目對矩形的相似線進行研究，要求每個欄目提出一個問題并解決．

Answer 1

（1）①在∠ABC內，作∠CBD=∠A，在∠ACB內，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，則P為△ABC的自相似點；②不是，如正三角形；③直角三角形；④；（2）①在距離A點b2a處取點P，作PQ⊥CD，垂足為Q；②辯證思考：問題：是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似線的矩形．解答：不是，如正方形．

試題分析：（1）①根據“自相似點”的定義結合相似三角形的判定方法求解即可；
②根據“自相似點”的定義結合相似三角形的判定方法即可作出判斷；
③根據“自相似點”的定義結合相似三角形的性質即可作出判斷；
④先根據等腰三角形的性質求得∠B、∠ACB的度數，再根據P是△ABC邊AB上的相似點可證得△CBP∽△ABC，再根據相似三角形的性質求解即可；
（2）①在距離A點處取點P，作PQ⊥CD，垂足為Q；
②答案不唯一，合理即可.
（1）①在∠ABC內，作∠CBD=∠A，
在∠ACB內，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，
則P為△ABC的自相似點；
②不是，如正三角形．
③直角三角形．
④∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵P是△ABC邊AB上的相似點．
∴△CBP∽△ABC．
∴∠BCP＝∠A＝36°，且．
∴∠ACP＝36°＝∠A，∠B＝∠BPC．
∴AP＝CP＝BC．
設BP＝x，AP＝CP＝BC＝y，有＝．
化簡，得x²＋xy－y²＝0．
舍去負根，得＝，即＝；
（2）①在距離A點處取點P，作PQ⊥CD，垂足為Q；
②辯證思考
問題：是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似線的矩形．
解答：不是，如正方形．
特例分析
答案不唯一，以下答案供參考：
i）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，且矩形PQCB∽矩形ABCD，a、b之間有何數量關系？
解答：a＝2b．
ii）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，且P 是AB的中點，a、b之間有何數量關系？
解答：a＝2b．
iii）問題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，當a＝2，b＝1時，求AP．
解答：AP＝12． 
iv）問題：已知矩形ABCD為黃金矩形（即＝），PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，求．
解答：＝．
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.